موقع كرة السلة العاصفة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبعادةًعلىالصورةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تعتبرالأعدادالمركبةامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتلعبدورًاأساسيًافيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،الفيزياء،ومعالجةالإشارات.

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   مثال:
   (3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i

   

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:
   لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1.
   مثال:
   (2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7i

   

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(يتمتغييرإشارةالجزءالتخيلي).
   مثال:
   (5+2i)÷(1-3i)=[(5+2i)(1+3i)]÷[(1-3i)(1+3i)]=...=(-1+17i)/10

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)

هذاالتمثيليُعرفباسممخططأرغاند،وهويساعدفيفهمالعملياتالجبريةهندسيًا.

القيمةالمطلقةوالزاوية

لكلعددمركبz=a+bi،يمكنحساب:
1.المعيار(القيمةالمطلقة):
|z|=√(a²+b²)
2.الزاوية(الطور):
θ=arctan(b/a)

هذهالقيمتُستخدمفيالصورةالقطبيةللأعدادالمركبة:z=r(cosθ+isinθ)،حيثr=|z|.

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
2. معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتوالترددات.
3. الفيزياءالكمية:تلعبدورًافيمعادلاتميكانيكاالكم.

الخلاصة

الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتمثيلهاهندسيًاوجبريًا.

الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادعلىنطاقواسعفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،الفيزياء،ومعالجةالإشارات.فيهذاالمقال،سنتعرفعلىماهيةالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.

ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغةالتالية:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقيمنالعددالمركب.
-(b)هوالجزءالتخيليمنالعددالمركب.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد(-1)،أيأن(i^2=-1).

علىسبيلالمثال،العدد(3+4i)هوعددمركبحيثالجزءالحقيقيهو3والجزءالتخيليهو4.

تمثيلالأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:

1. التمثيلالجبري:وهوالتعبيرعنالعددالمركببالصيغة(a+bi).
2. التمثيلالهندسي:حيثيمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالمركب(المستوىالديكارتي)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.
3. التمثيلالقطبي:يُعبرعنالعددالمركبباستخدامالمسافةمنالأصل(المعروفةباسمالمقياسأوالقيمةالمطلقة)والزاويةالتييصنعهامعالمحورالحقيقي(المعروفةباسمالسعة).

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(2+3i)+(1-4i)=(2+1)+(3i-4i)=3-i]

2.الضرب

لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
مثال:
[(1+2i)\times(3-i)=1\times3+1\times(-i)+2i\times3+2i\times(-i)]
[=3-i+6i-2i^2=3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i]

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(وهوالعددالمركبنفسهمعتغييرإشارةالجزءالتخيلي).
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ (3-4i)(3+4i)}]
[=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 9+12i-12i-16i^2}=\frac{ 3+10i-8}{ 9+16}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1}{ 5}+\frac{ 2}{ 5}i]

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. الهندسةالكهربائية:تُستخدمالأعدادالمركبةلتحليلدوائرالتيارالمتردد(AC)وحسابالمعاوقة.
2. معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتالتردديةمثلتحويلفورييه.
3. الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.

الخلاصة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.منخلالفهمأساسياتهاوخصائصها،يمكنناتطبيقهابفعاليةفيحلالمشكلاتالمعقدة.سواءكنتتدرسالرياضياتأوالهندسةأوالفيزياء،فإنإتقانالأعدادالمركبةسيفتحأمامكآفاقًاجديدةمنالمعرفةوالتطبيقاتالعملية.